[jiā jiǎo]  

夹角

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在数学中,两条直线(或向量)相交所形成的最小正角称为这两条直线(或向量)的夹角,通常记作∠Θ(Included angle),夹角的区间范围为{Θ|0≤Θ≤π}。
角在几何学三角学中有着广泛的应用。 [1] 
几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差,安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系,不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。 [1] 
中文名
夹角
外文名
Included angle
所    属
数学术语
拼    音
jiá jiǎo 
应用学科
数学
相关术语
弧度

夹角表示方法

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角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下,也会直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
在数学式中,一般会用希腊字母(α,β,γ,θ,φ, ...)表示角的大小。为避免混淆,符号π一般不用来表示角度。

夹角角的测量

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以角的端点为圆心圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比,而角是长度的比例,所以圆的大小不会影响角的测量。
  • 弧度:用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径,一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量,但却不是中国法定计量单位,角度则是角在中国的法定计量单位。此外,弧度在数学及三角学中有广泛的应用。
  • 角度:由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度在天文学和全球定位系统中有重要应用。
  • 梯度:是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
以下是一些其他的测量单位,对应不同的n值。 [2] 
  • 圈数或转数n=1):是指完整旋转一圈,依应用的不同,会简写为cycrevrot,不过在每分钟转速(RPM)的单位中,只用一个字母r表示。
  • 直角n=4):是1/4圈,是几何原本中用的角度单位,直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。
  • 时角n=24):)常用在天文学中,是1/24圈。此系统是用在一天一个周期的循环(例如星星的相对位置),其六十进制下的子单位称为“时间分角”及“时间秒角”,这两个单位和角度的角分及角秒不同,前者大小为后者的十五倍。1时角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。
  • 米位n=6000–6400):此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度,有许多不同的定义,其数值从0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度约为0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公约组织的国家中,米位定义为圆的1/6400。其数值大约等于一个角度的弧长为一米,其半径为一公里的角度(2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000)。
  • 角分n=21,600):定义为一度的1/60,是1/21600圈,会用′表示,例如3°30′ 等于 3+30/60 度,也就是3.5度,有时也会出现小数,例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定义为在地球的大圆上一角分的弧长。
  • 角秒n=1,296,000):定义为一角分的1/60,会用″表示,例如3°7′30″等于3 + 7/60 + 30/3600 度,或是3.125度。

夹角角的种类

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  • 零角
    角度等于0°,或一条线
  • 锐角
    角度大于0°且小于90°,或弧度大于0且小于{\displaystyle \pi /2}的角。
  • 直角
    角度等于90°,或弧度为{\displaystyle \pi /2}的角。
  • 钝角
    角度大于90°且小于180°,或弧度大于{\displaystyle \pi /2}且小于{\displaystyle \pi }的角。
  • 平角
    角度等于180°,或弧度为{\displaystyle \pi }的角。
  • 优角或反角
    角度大于180°且小于360°,或弧度大于{\displaystyle \pi }且小于{\displaystyle 2\pi }的角。
  • 周角
    角度等于360°,或弧度为{\displaystyle 2\pi }的角。

夹角角的组合

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有三种特殊角的组合,其度数和均为特殊的值:
  • 余角:当两个角的度数之和等于90°,即一个直角,这两个角便是余角。若两个相邻的角互为余角,两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何中,非直角的两角即互为余角。
  • 若角AB互为余角,以下的数学式会成立:
  • (一角的正切等于其余角的余切,一角的正割等于其余角的余割
  • 补角:当两个角的度数之和等于180°,即一个平角,这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为余角,两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是补角,例如平行四边形中,任两邻角为互补角。圆内接四边形的对角也是互补角。
  • 若点P为圆O外的一点,而过点P作圆的切线,切点分别在点T和点Q,则∠TPQ和∠TOQ为互补角。
  • 两互补角的正弦相等,其余弦及正切(若有定义义)大小相等,但符号异号。
  • 在欧几里得几何中,三角形两角的和为第三角的补角。

夹角黎曼几何中

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黎曼几何中,利用度量张量来定义二条切线之间的夹角,其中UV是切线向量,gij是度量张量G的分量。

夹角天文学中

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地理的观点,地球上任何一个位置都可以用地理座标系统来表示,此系统标示位置的经度及纬度,两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示,经度是以格林威治子午线为参考基准,而纬度是以赤道为参考基准。
在天文学中,天球的一点可以用任何一种天球坐标系统来表示,不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离时,会假想分别有二颗星星分别和地球连成的直线,再量测这二条直线的夹角,即为角距离。
天文学家也会用角直径量测一物体的表观大小。例如满月的角直径约为0.5°。小角公式可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。
参考资料
  • 1.    Heiberg, Johan Ludvig. Heath, T. L., 编. Euclid. The thirteen books of Euclid's Elements 1. Cambridge University press. 1908: 177–178.
  • 2.    GB 3102.1-1993:空间和时间的量和单位(代替GB 3102.1-1986).1993年12月27日公布,1994年7月1日实施.
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